Python中计算圆周率的n种方法

计算圆周率（π）的方法有很多，下面将介绍几种常见的方法，并给出相应的 Python 代码示例。

方法一：莱布尼茨公式

莱布尼茨公式是一个著名的无穷级数公式，用于计算圆周率： [ \pi = 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} ] 这个方法的收敛速度较慢，需要非常多的项才能得到较为准确的 π 值。

def leibniz_formula(n_terms):
    pi_estimate = 0
    for n in range(n_terms):
        pi_estimate += ((-1)**n) / (2 * n + 1)
    pi_estimate *= 4
    return pi_estimate

# 示例
n = 1000000
print("莱布尼茨公式估算的π值为:", leibniz_formula(n))

方法二：蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法基于概率统计原理。通过在一个单位正方形内随机投点，计算落在内切圆内的点的比例，从而估算 π。 [ \pi \approx 4 \times \frac{\text{圆内点数}}{\text{总点数}} ]

import random

def monte_carlo(n_points):
    inside_circle = 0
    for _ in range(n_points):
        x = random.random()
        y = random.random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            inside_circle += 1
    pi_estimate = 4 * inside_circle / n_points
    return pi_estimate

# 示例
n = 1000000
print("蒙特卡洛方法估算的π值为:", monte_carlo(n))

方法三：巴夫哈（Bailey-Borwein-Plouffe）公式

巴夫哈公式可以用来计算 π 的任意一位数字，公式如下： [ \pi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^k}\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right) ]

def bbp_formula(n_terms):
    pi_estimate = 0
    for k in range(n_terms):
        pi_estimate += (1 / (16**k)) * (4 / (8*k + 1) - 2 / (8*k + 4) - 1 / (8*k + 5) - 1 / (8*k + 6))
    return pi_estimate

# 示例
n = 100
print("巴夫哈公式估算的π值为:", bbp_formula(n))

方法四：使用数学库

Python 的数学库（math）中已经有了π的定义，可以直接调用，但这里介绍使用多项式逼近方法来近似计算 π。 例如使用古典的阿基米德方法，通过多边形的周长逼近圆的周长。

import math

def archimedes_formula(n_sides):
    # 每个内切正多边形的边长
    side_length = 2 * math.sin(math.pi / n_sides)
    perimeter = n_sides * side_length
    return perimeter / 2

# 示例
n = 10000
print("阿基米德方法估算的π值为:", archimedes_formula(n))

总结

以上介绍了几种计算圆周率的方法，每种方法都有自己的特点和应用场景。莱布尼茨公式简单易懂，但收敛速度较慢；蒙特卡洛方法直观且易于实现，但精度受到随机性的影响；巴夫哈公式则可以精准计算出任意位置的 π 的数位。通过这些方法，我们不仅可以了解 π，更能体会到数学的魅力。