第五届“华数杯”全国大学生数学建模竞赛C题——老外游中国

一、问题背景与建模目的

随着国际交流的日益增多，越来越多的外国友人选择来到中国旅游。然而，由于文化差异、语言障碍等问题，外国游客在选择旅游线路时面临着许多困难。我们希望通过建立数学模型，帮助外国游客更便捷地规划他们的中国游行程，使其能够更好地体验中国的文化与风景。

二、模型建立

1. 数据收集

首先，我们收集了关于中国各大旅游城市的基本信息，包括城市之间的距离、主要旅游景点、酒店信息以及各城市的旅游评分等数据。

2. 建立旅行网络

我们将中国的主要旅游城市看作一个图的节点，而城市之间的距离则看作节点之间的边。为了方便外国游客选择旅行路线，我们可以利用旅行商问题（TSP）来寻找最优旅行路线。

3. 目标函数与约束条件

我们的目标是最小化游客在各城市之间的总旅行距离，同时满足以下约束条件：

• 每个城市只能访问一次；
• 起点与终点相同；
• 游客的时长限制。

三、模型求解

我们可以使用遗传算法来求解上述的旅行商问题。遗传算法是一种随机搜索优化算法，它可以非常有效地求解组合优化问题。

代码示例

以下是一个简单的 Python 代码示例，展示如何实现基本的遗传算法来求解旅行商问题。

import numpy as np
import random

# 城市位置（示例）
cities = np.array([[0, 0], [1, 3], [4, 3], [6, 1], [3, 0]])
num_cities = len(cities)

# 计算城市之间的距离
def calculate_distance(route):
    distance = 0
    for i in range(len(route)):
        start_city = route[i]
        end_city = route[(i + 1) % len(route)]
        distance += np.linalg.norm(cities[start_city] - cities[end_city])
    return distance

# 初始化种群
def init_population(size):
    population = []
    for _ in range(size):
        route = list(range(num_cities))
        random.shuffle(route)
        population.append(route)
    return population

# 选择操作
def selection(population, fitness):
    selected = np.random.choice(population, size=len(population)//2, replace=False, p=fitness/fitness.sum())
    return selected

# 交叉操作
def crossover(parent1, parent2):
    cut = random.randint(1, num_cities - 1)
    child = parent1[:cut] + [city for city in parent2 if city not in parent1[:cut]]
    return child

# 变异操作
def mutate(route):
    if random.random() < 0.1:  # 10%的变异概率
        idx1, idx2 = random.sample(range(num_cities), 2)
        route[idx1], route[idx2] = route[idx2], route[idx1]

# 遗传算法主过程
def genetic_algorithm(population_size=100, generations=500):
    population = init_population(population_size)
    for generation in range(generations):
        # 计算适应度
        fitness = np.array([1/calculate_distance(route) for route in population])
        new_population = selection(population, fitness)

        # 交叉与变异
        next_generation = []
        while len(next_generation) < population_size:
            parent1, parent2 = random.sample(list(new_population), 2)
            child = crossover(parent1, parent2)
            mutate(child)
            next_generation.append(child)

        population = next_generation

    # 返回当前最优的路线
    best_route = min(population, key=calculate_distance)
    return best_route, calculate_distance(best_route)

# 执行遗传算法
best_route, best_distance = genetic_algorithm()
print(f'最优路线: {best_route} ，距离: {best_distance}')

四、结果与分析

通过遗传算法，我们最终得到了最优的旅行路线和对应的旅行距离。这一结果可以为外国游客提供参考，在他们游览中国时，能够更加高效地规划行程。我们还可以根据游客的个人偏好，对模型进行调整，如增加景点的重要性、旅游时间限制等。

五、总结

通过本次建模竞赛，我们不仅提升了自己的数学建模能力，也增强了团队合作和项目管理的能力。未来，我们希望能够通过更复杂的模型与算法，进一步提高旅行路线的优化效果，为更多的外国游客提供便利，促进中外文化交流。