模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是一种先进的控制策略，广泛应用于过程控制、机器人、无人驾驶等领域。MPC的核心思想是利用系统的数学模型进行预测，通过优化控制输入，以实现期望的控制目标。本文将通俗解释MPC的原理和公式，并提供MATLAB代码实现示例。
MPC的基本原理
MPC是一种基于模型的控制方法，其基本过程可以分为以下几步：
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建模：首先需要一个描述系统动态的数学模型，通常是状态空间模型或传递函数模型。
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预测：基于当前的状态信息和控制输入，利用模型预测未来一段时间内的系统输出。预测的时间范围称为预测时域（Prediction Horizon）。
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优化：在每个控制时刻，MPC通过求解一个优化问题来找到最佳的控制输入。这个优化问题通常是最小化一个成本函数，成本函数通常包含控制输出的误差（与期望值的偏差）和控制动作的变化率，以平衡追踪精度和控制能耗。
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应用控制输入：计算得到的最佳控制输入仅在当前时刻使用，随后系统状态会更新，再次进行预测和优化。这便形成了一个闭环控制过程。
数学模型与公式
在MPC中，假设系统的状态方程为：
[ x_{t+1} = Ax_t + Bu_t ]
输出方程为：
[ y_t = Cx_t + Du_t ]
其中： - ( x_t ) 为系统状态向量； - ( u_t ) 为控制输入向量； - ( y_t ) 为系统输出； - ( A, B, C, D ) 为系统矩阵。
在每个采样时间点 ( t )，MPC会通过优化以下的成本函数来决定控制输入 ( u_t )：
[ J = \sum_{k=0}^{N-1} \left{ (y_{t+k} - y_{ref})^T Q (y_{t+k} - y_{ref}) + (u_{t+k} - u_{t+k-1})^T R (u_{t+k} - u_{t+k-1}) \right} ]
其中： - ( N ) 为预测时域的长度； - ( y_{ref} ) 为期望的输出值； - ( Q ) 和 ( R ) 为权重矩阵，用于调节输出和输入的相对重要性。
MATLAB代码示例
下面是一个简单的MPC实现的MATLAB代码示例，假设我们要控制一个一阶系统，模型为 ( x_{t+1} = 0.8x_t + 0.1u_t )。
% 模型参数设置
A = 0.8;
B = 0.1;
N = 10; % 预测时域
Q = 1; % 输出权重
R = 0.1; % 输入权重
y_ref = 1; % 期望输出
% 初始化
x = 0; % 初始状态
u = zeros(N,1); % 控制输入
y_history = []; % 记录输出
% 主循环
for t = 1:50
% 预测输出
y_pred = zeros(N,1);
for k = 1:N
y_pred(k) = A^k * x + sum(A^(k-1-j) * B * u(j+1) for j = 0:min(k-1,N-1));
end
% 成本函数计算
J = @(u) sum((y_pred - y_ref).^2 * Q + [(u(2:end) - u(1:end-1)); 0].^2 * R);
% 求解优化问题
options = optimset('Display','off');
u_opt = fminunc(J, u, options);
% 应用第一个控制输入
u(1) = u_opt(1);
x = A * x + B * u(1); % 更新状态
y_history = [y_history; y_pred(1)]; % 记录输出
end
% 绘图
plot(y_history);
hold on;
yline(y_ref, 'r--');
xlabel('时间');
ylabel('输出');
title('MPC控制输出与期望值');
legend('系统输出', '期望输出');
总结
模型预测控制（MPC）以其强大的预测和优化能力，在各类复杂系统中具有广泛应用。通过优化控制输入以最小化成本函数，MPC能够有效地达到预期的控制目标。希望通过这篇文章，你对MPC有了更清晰的理解，并能够在MATLAB中进行简单实现。
