吴恩达机器学习-可选实验室-梯度下降-Gradient Descent for Linear Regression

梯度下降在线性回归中的应用

在机器学习中，线性回归是一种基本且常用的回归分析方法，其目标是根据输入特征来预测连续的输出值。实现线性回归的多种方法中，梯度下降法是最常见的一种。它通过迭代优化代价函数，找到最佳的回归参数（权重），从而使得模型对训练数据的拟合度达到最佳。

一、基础概念

在简单线性回归中，我们的目标是找到一个线性方程：

[ y = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + ... + \theta_n x_n ]

其中，( y ) 是依赖变量，( x_i ) 是自变量，( \theta_i ) 是我们需要学习的参数。

为了评估模型的好坏，我们通常使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）作为代价函数：

[ J(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 ]

这里，( m ) 是样本数量，( h_\theta(x) ) 是模型的预测结果。

二、梯度下降法

梯度下降法的核心思想是，利用代价函数对每个参数的梯度信息来迭代优化参数。更新规则如下：

[ \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} ]

其中，( \alpha ) 是学习率，决定了每次更新的步长。

三、实现代码示例

以下是一个使用梯度下降法进行线性回归的简易示例：

import numpy as np

# 生成一些示例数据
np.random.seed(0)
X = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)  # y = 4 + 3x + noise

# 增加偏置项
X_b = np.c_[np.ones((100, 1)), X]  # 在X前添加一列1

# 梯度下降的超参数
learning_rate = 0.1
n_iterations = 1000
m = len(y)

# 初始化参数
theta = np.random.randn(2, 1)  # 2行1列的随机数

# 梯度下降算法
for iteration in range(n_iterations):
    gradients = 2/m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y)  # 计算梯度
    theta = theta - learning_rate * gradients  # 更新参数

print("学习到的参数：", theta)

四、代码讲解

1. 数据生成：我们首先创建了一些线性相关的数据，并加入了噪声。这里，( y = 4 + 3x + \text{noise} )。

2. 生成特征矩阵：为了使用梯度下降法，我们需要为模型添加一个偏置项，这里通过 np.c_[np.ones((100, 1)), X] 来实现。

3. 初始化参数：我们随机初始化了模型的参数 ( \theta )。

4. 迭代更新：在每次迭代中，我们计算代价函数对参数的梯度，并据此更新参数。

5. 输出参数：经过多个迭代后，我们最终输出学习到的参数。

五、总结

梯度下降法在优化过程中通过不断调整模型参数，使得代价函数逐渐降低，从而实现模型的学习。这个过程在大多数机器学习算法中都是适用的，除了线性回归，逻辑回归、神经网络等领域也广泛使用梯度下降进行模型优化。通过自己实现梯度下降法，我们不仅能加深对线性回归的理解，还能为后续学习其他复杂算法打下坚实的基础。